Probabilitas dan Statistika

      A.    Konsep dan Definisi

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

DEFINISI PROBABILITAS

Harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.

§  Contoh 1:

Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.

§  Contoh 2:

Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6)

Rumus : P (E) = X/N

P: Probabilitas

E: Event (Kejadian)

X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)

            N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Di dalam suatu pabrik ada 30 wanita dan 70 laki-laki. Sehabis makan siang yang disediakan pabrik akan ditanyakan “apakah makanan tadi cukup baik”. Untuk itu akan di undi (di acak) siapa orang yang akan ditanyakan pendapatnya. Probabilitas akan terambil seorang buruh wanita adalah 30/100 -> P (0,3)

Ø  Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkianan suatu peristiwa akan terjadi.   

      B.     Pendekatan

Konsep-konsep probabilitas tidak hanya penting oleh karena terapan-teranpannya yang langsung pada masalah-masalah bisnis akan tetapi juga karena probabilitas adalah dasar dari sampel-sampel dan inferences tentang populasi yang dapat dibuat dari suatu sampel. PENDEKATAN PERHITUNGAN PROBABILITAS Ada 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu :(1). Pendekatan Klasik(2). Pendekatan Frekuensi Relatif, dan(3). Pendekatan Subyektif

1.      PENDEKATAN KLASIK

Pendekatan klasik didasarkan pada banyaknya kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu kejadian. “Jika ada a banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, dan b banyaknya kemungkinan tidak terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing”. Probabilitas bahwa akan terjadi A adalah P(A) = a / (a+b)

2.      PENDEKATAN FREKUENSI RELATIP (EMPERICAL APPROACH)

Nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi atau percobaan. Tidak ada asumsi awal tentang kesamaan kesempatan, karena penentuan nilai-nilai probabilitas didasarkan pada hasil obserbasi dan pengumpulan data.
Misalkan berdasarkan pengalaman pengambilan data sebanyak N terdapat a kejadian yagng bersifat A. Dengan demikian probabilitas akan terjadi A untuk data adalah P(A) = A /N

3.      PENDEKATAN SUBYEKTIP (PERSONALISTIC APPROACH)

Pendekatan subyektip dalam penentuan nilaiprobabilitas adalah tepat atau cocok apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam satu kejadian. Dengan pendekatan ini, nilai probabilitas dari suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual dengan berlandaskan pada semua petunjuk yang dimilikinya.

       C.    Hukum Probabilitas

§  Hukum Pertambahan

Asas perhitungan probabilitas dengan berbagai kondisi yang harus diperhatikan:

1. Hukum Pertambahan

terdapat 2 kondisi yang harus diperhatikan yaitu:     

a.       Mutually Exclusive (saling meniadakan)

Rumus: P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:

Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:

P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

b. Non Mutually Exclusive (dapat terjadi bersama)

-    Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint)

Ø  dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersamasama (tetapi tidak selalu bersama)

Contoh penarikan kartu as dan berlian

P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩B)

               Non Mutually Exclusive

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.

§  HUKUM PERKALIAN

Terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan apakah kedua peristiwa tersebut saling bebas atau bersyarat.

a.       Peristiwa Bebas (Independent)

Apakah kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lain.

Contoh:

Sebuah coin dilambungkan 2 kali maka peluang keluarnya H pada lemparan pertama dan pada lemparan kedua saling bebas.

P(A ∩B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Peristiwa Bebas (Hk Perkalian)

Contoh soal 1:

Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:

P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Contoh soal 2:

Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:

P (H) = ½, P (3) = 1/6

P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

b.      Peristiwa tidak bebas (Hk. Perkalian)

Peristiwa tidak bebas > peristiwa bersyarat (Conditional Probability).

Dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lainnya.

Contoh:

Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama, maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik.

Simbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B│A) -> probabilitas B pada kondisi A

P(A ∩B) = P (A) x P (B│A)

Contoh soal:

Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51

P (as II │as I) = 3/51

P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I)

= 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

LATIHAN SOAL

      1.      Seorang Direktur Bank mengatakan bahwa dari 1000 nasabahnya terdapat 150 orang yang tidak puas dengan pelayanan bank. Pada suatu hari kita bertemu dengan salah seorang nasabah. Berapa probabilitasnya bahwa nasabah tersebut tidak puas ?

Penyelesaian :

Dik      : n = 1000

              x = 150

Jika A adalah nasabah yang tidak puas, maka :

P(A) = 150 / 1000 = 0.15 atau 15%

Jasdi probabilitas bahwa kita bertemu dengan nsabah yang tidak puas adalah 15%.

2.      Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3, dan peluang lulus biologi 4/9. Bila peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah 4/5 berapakah peluangnya lulus dalam kedua mata kuliah?

Penyelesaian :

Misalkan A menyatakan kejadian lulus matematika dan B kejadian lulus Biologi maka menurut teorema 1

P(AΩB) = P(A) + P(B)-P(AUB)

= 2/3 + 4/9 – 4/5

= 14/45

3.  Pada penarikan satu kartu dari satu set kartu bridge, peluang akan   terambil kartu as atau berlian.

Penyelesaian :

 P (as) = 4/52

 P (berlian) = 13/52

 Ada sebuah kartu as dan berlian : P (as ∩ berlian) = 1/52

 P (as U berlian) = P (as) + P (berlian) - P (as ∩ berlian)

P (as U berlian) = P (as) + P (berlian) - P (as ∩ berlian) = 4/52 + 13/52  – 1/52 = 16/52 k

      4.       Berapakah probabilitas dan pelemparan dua dadu menghasilkan 7 dan 11.

Penyelesaian :

Dengan melemparkan dadu menghasilkan 7 berarti kedua dadu itu permukaannya berjumlah 7. Sekarang dadu pertama dapat memperlihatkan 6 perbedaan cara dan sesuai dengan setiap cara yang mana dadu pertama memperlihatkan, yang kedua dapat memperlihatkan dalam 6 cara. Kedua dadu itu dapat memperlihatkan 6 x 6 = 36 cara.

            Jumlah 7 dapat diperlihatkan dalam 6 cara yang berbeda (yaitu 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) . Sehingga Probabilitas untuk memperoleh hasil dengan jumlah 7 adalah

                                                            P1 = 6/36 .

            Jumlah 11 yang mungkin dihasilkan adalah 5 + 6, 6 + 5 adalah dua cara yang berbeda. Jadi probabilitas hasil 11 adalah:

                                                            P2 = 2/36

            Jadi probability untuk menghasilkan 7 dan 11 adalah P =P1+P2 = 6/36 +2/36 = 8/36

      5.      Jika dari suatu undian yang terdiri dan 30 lembar dengan angka 1, 2, 3   diambil 4 lembar~ hitunglah kemungkinan keluarnya angka 1 dan 2.

Penyelesaian :

Empat lembar kupon yang ditarik dapat dilakukan dalam ³⁰C₄ . Jika dua kupon yang bernomor 1 dan 2 ikut keluar, maka dapat terjadi dalam 28C2 cara. Maka kemungkinan keluarnya nomor I dan nomor 2 adalah  28C2 / 30C4 = 2/145.

Jadi kemungkinan yang memenuhi adalah 2/145.